Introduction aux espaces de processus en temps discret. Modélisation dynamique de comportement aléatoire via les chaines de Markov et les processus de Poisson : Chaînes de Markov : fonctions de transitions, graphe de Markov, temps d'entrée et de retour, récurrence, transience, irréductibilité, décomposition de l'espace d'états, loi stationnaire, comportement asymptotique, apériodicité, convergence vers la mesure stationnaire. Processus de Poisson : propriétés de la fonction de comptage, conséquences pour la simulation et l'estimation.

Introduction aux statistiques paramétriques et à l'utilisation du logiciel R. Méthodes usuelles d'estimation paramétrique. Méthodes Bayésiennes. Tests d'hypothèses.

- Révisions de topologie, applications linéaires continues et espaces de Hilbert. - Espaces de fonctions continues sur un compact, théorème d'Ascoli. - Théorèmes fondamentaux : Baire, Graphe fermé, Application ouverte, Banach-Steinhaus. - Théorèmes d'Hahn-Banach (formes géométriques et analytiques).- Théorie des opérateurs compacts, spectre, théorie de Fredholm. - Calcul fonctionnel holomorphe et applications.

Equations différentielles ordinaires : rappels sur le problème de Cauchy, le théorème de Cauchy-Lipschitz, la résolution analytique des EDO linéaires. Exemples de modélisation avec des EDO (mécanique, chimie, dynamique des populations, etc.). Méthodes explicites (méthode d'Euler, méthodes à un pas de Heun, du point-milieu), méthodes d'ordre élevé (Runge-Kutta, pas multiples), convergence (consistance, stabilité, ordre). Méthodes implicites (méthode d'Euler, méthodes de Crank-Nicolson et du point-milieu). Problèmes raides et stabilité absolue, convergence. Equations aux dérivées partielles en 1D : équation de Poisson, de la chaleur, des ondes, d'advection. Interprétation physique. Exemples de résolution analytique d'EDP. Approximation par différences finies de l'équation de Poisson (schéma à 3 points et convergence) et de l'équation de la chaleur (schéma d'Euler explicite, implicite, de Crank-Nicolson. Convergence). Le cours comprend des séances de TP et un projet à faire en Python.

- Groupes : Rappels sur les actions de groupes, équations aux classes, $p$-groupes, groupe alterné, les 3 théorèmes de Sylow, sous-groupes permutables, produit direct, théorème de structure des groupes abéliens finis. - Anneaux : Idéaux, maximaux, premiers, quotients, anneaux intègres, anneaux euclidiens, principaux, factoriels, anneaux de polynômes. - Corps : sous-corps, caractéristique, diviseurs de zero, corps non commutatifs, corps finis, extension de corps, corps des fractions d’un anneau intègre. - Analyse sur les groupes : Transformée de Fourier sur un groupe fini

Modèles financiers à temps discret : arbitrage, stratégies autofinancées. Espérance conditionnelle. Martingales et arbitrage : notion de martingale, théorème d'arrêt. Marchés complets. Modèle binomial. Mouvement brownien. Intégrale stochastique, formule d'Itô, modèle de Black-Scholes.

Liens entre optimisation et statistique, maximum de vraisemblance, descente de gradient, gradient conjugué, optimisation sous contrainte, pénalisation, multiplicateur de Lagrange. Fonction de perte, arbitrage, biais, variance, surapprentissage. Arbre de décision, Support Vecteur Machine, Forêt aléatoires, boosting. Validation croisée. Arbitrage entre interprétabilité et pouvoir prédictif. Introduction aux réseaux de neurones. Implémentation en python et participation à un Hackathon.

Fonctions infiniment dérivables, convolution. Distributions : dérivation, produit par une fonction, support, convolution, exemples. Opérations sur les distributions. Fonctions infiniment dérivables à décroissance rapide. Distributions tempérées. Transformation de Fourier. Théorèmes de Paley-Wiener. Equations aux dérivées partielles linéaires. Théorème de Malgrange-Ehrenpreis ..

Le Travail d'Etude et de Recherche s'effectue seul ou à deux, sous la direction d'un membre du laboratoire de mathématiques, de fin janvier à fin mai. Il s'agit d'une initiation au travail de recherche effectuée seul ou en binôme, sous la direction d'un enseignant qui propose le sujet. Ce travail pourra être seulement théorique (lecture d'un article de recherche ou d'un cours spécialisé de niveau plus avancé par exemple) ou comporter une partie de simulation numérique. Le TER donne lieu à la rédaction d'un rapport d'une vingtaine de pages, et à une soutenance orale d'environ 45 minutes suivie de quelques questions, devant un jury constitué d'enseignants-chercheurs du laboratoire.

- Courbes : planes et gauches, longueur, abscisse curviligne, courbure, torsion. - Surfaces : paramétrées, régulières, de révolution, réglées, définies implicitement. - Intégrales curvilignes et de surfaces, longueurs, aires, volumes. Espace tangent, champs de vecteurs, formes différentielles, formes exactes/fermées, intégration, théorème de Stokes.